《複變函數與積分變換》課程教學大綱
一、課程名稱（中英文）
中文名稱：複變函數與積分變換
英文名稱：Functions of Complex Variable and Integral Transforms
二、課程代碼及性質
課程代碼：0700071
課程性質：必修
三、學時與學分
總學時：40（理論學時：40學時；實踐學時：無限制）
學分：2.5
四、先修課程
先修課程：微積分
五、授課對象
本課程面向理工科各專業本科學生開設
六、課程教學目的（對學生知識、能力、素質培養的貢獻和作用）
複變函數與積分變換是理工科相關專業的一門基礎課，通過本課程的學習，使學生初步掌握複變函數的基礎理論和方法，掌握傅裡葉變換與拉斯變換的性質、方法；學生在學習該課程知識及數學物理及工程技術中常用的數學方法時還可以鞏固和複習微積分的基礎知識，提高數學素養，為學習有關後續課程和進一步擴大數學知識奠定必要的數學基礎。同時，該課程在培養學生的抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力和科學計算能力等方面也起着十分重要的作用。
七、教學重點與難點：
課程重點：解析函數、Cauchy-Riemann 條件及其應用；Cauchy 積分公式的應用；各種複積分的計算；将函數展開成幂級數或羅朗級數的方法；孤立奇點的分類；留數的計算；求兩個典型區域間的分式線性映射；Fourier 變換和Laplace 變換的有關概念、性質及其應用；單位脈沖函數的性質及其應用。
課程難點：無窮遠點及無窮遠點鄰域、擴充複平面、複數開方和多值函數、函數解析的充要條件、 計算非解析函數沿積分路徑為非閉曲線的積分、孤立奇點類别的識别、共形映射、Fourier變換與Laplace變換的區别、聯系。
八、教學方法與手段：
教學方法：教師課堂授課+學生課後練習與讨論
教學手段：多媒體+闆書
九、教學内容與學時安排
（一）教學内容1（教師課堂教學學時（4小時） + 學生課後學習學時（12小時））
教學内容：複數與複變函數（4學時）
複數
複數的三角表示
平面點集的一般概念
無窮大與複球面
複變函數
課後文獻閱讀：見十、教學參考書及文獻
課後作業和讨論：自編練習冊練習一、練習二
（二）教學内容2（教師課堂教學學時（5小時） + 學生課後學習學時（15小時））
教學内容：解析函數（5學時）
解析函數的概念
解析函數和調和函數的關系
初等函數
課後文獻閱讀：見十、教學參考書及文獻
課後作業和讨論：自編練習冊練習三、練習四
（三）教學内容3（教師課堂教學學時（5小時） + 學生課後學習學時（15小時））
教學内容：複變函數的積分（5學時）
複積分的概念
柯西積分定理
柯西積分公式
解析函數的高階導數
課後文獻閱讀：見十、教學參考書及文獻
課後作業和讨論：自編練習冊練習五、練習六
（四）教學内容4（教師課堂教學學時（4小時） + 學生課後學習學時（12小時））
教學内容：解析函數的級數表示（4學時）
複數項級數
複變函數項級數
泰勒級數
洛朗級數
課後文獻閱讀：見十、教學參考書及文獻
課後作業和讨論：自編練習冊練習七、練習八
（五）教學内容5（教師課堂教學學時（6小時） + 學生課後學習學時（18小時））
教學内容：留數及其應用（6學時）
孤立奇點
留數
留數在定積分計算中應用
課後文獻閱讀：見十、教學參考書及文獻
課後作業和讨論：自編練習冊練習九、練習十、練習十一
（六）教學内容6（教師課堂教學學時（6小時） + 學生課後學習學時（18小時））
教學内容：共形映射（6學時）
共形映射的概念
共形映射的基本問題
分式線性映射
幾個初等函數構成的保形映射
課後文獻閱讀：見十、教學參考書及文獻
課後作業和讨論：自編練習冊練習十二、練習十三、練習十四
（七）教學内容7（教師課堂教學學時（4小時） + 學生課後學習學時（12小時））
教學内容：傅裡葉變換（4學時）
傅裡葉變換的概念
單位脈沖函數（δ函數）
傅裡葉變換的性質
課後文獻閱讀：見十、教學參考書及文獻
課後作業和讨論：自編練習冊練習十五、練習十六、練習十七
（八）教學内容8（教師課堂教學學時（4小時） + 學生課後學習學時（12小時））
教學内容：拉普拉斯變換（4學時）
拉普拉斯變換的概念
拉氏變換的性質
拉普拉斯逆變換
拉氏變換的應用及綜合舉例
課後文獻閱讀：見十、教學參考書及文獻
課後作業和讨論：自編練習冊練習十八、練習十九
十、教學參考書及文獻
教學參考書：
1．複變函數與積分變換，北京：高等教育出版社，2013，李紅、謝松法編；
2．複變函數與積分變換學習輔導與習題全解，北京：高等教育出版，2013，李紅、謝松法編；
3．工程數學:積分變換(第四版), 北京:高等教育出版，2003，張元林
4．複變函數與積分變換，北京：科學出版社, 2011，劉子瑞, 徐忠昌主編；
5．複變函數與積分變換，北京：科學出版社, 2015，馮複科主編
6．複變函數論，北京：高等敎育出版社, 2004，鐘玉泉編；
7. Complex analysis for mathematics and engineering, Jones & Bartlett Pub, 2006, John H. Mathews and Russell W. Howell.
8. Complex variables: introduction and applications, Cambridge UniversityPress, 2003, MarkJ. Ablowitz, Athanassios S. Fokas.
課外文獻閱讀：
1. Onanewclass ofanalyticfunction derivedbyafractionaldifferential operator, Acta MathematicaScientia, 34(2014):1417-1426,Rabha W. Ibrahim.
2. Real analytic families of harmonic functions in a planar domainwith a small hole,Journal of Mathematical Analysis and Applications,422 (2015): 37-55, M.Dalla Riva, P. Musolino.
3. Geometrical and physical characteristics of a class ofconformalmappings,Journal of Geometry and Physics, 62 (2012):1467-1479, Fengyun Fu, Xiaoping Yang, Peibiao Zhao.
4. Analysis and extension of spectral methodsfor nonlineardimensionality reduction,Proceedings of the 22nd international conference on Machine learning, (2005):784-791, Fei Sha,Lawrence K. Saul.
5. Conformal mapping by computationally efficient methods,Proceedings of the Twenty-Fourth AAAI Conference on Artificial Intelligence, (2010):557-562, Stefan Pintilie, Ali Ghodsi.
6. An analytical representation of conformal mapping for genus-zeroimplicit surfaces and its application to surface shape similarityassessment,Computer-Aided Design, 64 (2015): 9-21, Shunzhou Huang, Hao Wang, Yong Zhao, Zhongqin Lin.
7. Analytic methods for geometric modeling via sphericaldecomposition. Computer-Aided Design, 70(2016):100-115, Morad Behandish, Horea T. Ilieş.
8. Fourier integral operators and the index ofsymplectic morphisms on manifolds with boundary,Journal ofFunctional Analysis, 269(2015): 3528-3574, Ubertino Battisti, Sandro Coriasco, Elmar Schrohe.
9. A novel signal decomposition approach-adaptive fourier decomposition,Advances in Adaptive Data Analysis,3(2012): 325-338, Liming Zhang, Hong Li.
十一、課程成績評定與記載
課程成績=課堂讨論（10%）+課後作業（20%）+終結性考試（70%）
終結性考試形式：閉卷
大綱制定：複變函數與積分變換課程組
審核：88858cc永利教學指導委員會
